Exemple de dérivée de fonction

Notez que nous avons modifié toutes les lettres de la définition pour qu`elles correspondent à la fonction donnée. Dans la première section du chapitre limites, nous avons vu que le calcul de la pente d`une ligne tangente, le taux instantané de changement d`une fonction, et la vitesse instantanée d`un objet à (x = a ) tous nous ont demandé de calculer la limite suivante. Pour que la notion de la ligne tangente à un point de sens, la courbe doit être «lisse» à ce point. On trouve la dérivée de chaque pièce, puis on la combine. Cela signifie que si vous imaginez une particule voyageant à une certaine vitesse constante le long de la courbe, alors la particule ne subit pas un changement brusque de direction. Comme note finale dans cette section, nous reconnaissons que le calcul de la plupart des dérivés directement de la définition est un processus assez complexe (et parfois douloureux) rempli d`occasions de faire des erreurs. Dans ce problème, nous allons devoir rationaliser le numérateur. Cette notation est appelée Leibniz notation, après Gottfried Leibniz, qui a développé les fondements du calcul indépendamment, à peu près au même moment que Isaac Newton a fait. Nous devons trouver la dérivée de chaque terme, puis combiner ces dérivés, en gardant l`addition/soustraction comme dans la fonction d`origine. Notez que nous utilisons également la règle pour multiplier par une constante. Esquissez le graphe de $f` (x) $ en estimant le dérivé à un certain nombre de points dans l`intervalle: estimer le dérivé à intervalles réguliers d`une extrémité de l`intervalle à l`autre, et aussi à des points «spéciaux», comme lorsque la dérivée est nulle. Comme dans cette section nous ne pouvons pas simplement annuler les h.

Dans ces cas, les éléments suivants sont équivalents. Si $x $ est positif, alors c`est la fonction $y = x $, dont la dérivée est la constante 1. Pour faire bon usage des informations fournies par $f` (x) $, nous devons être en mesure de le calculer pour une variété de ces fonctions. Reconsidérez la fonction $ DS f (x) = sqrt{625-x ^ 2} $. Parce que nous avons également besoin d`évaluer les dérivés à l`occasion, nous avons également besoin d`une notation pour l`évaluation des dérivés lors de l`utilisation de la notation fractionnaire. Encore une fois, puisque nous utilisons souvent $f $ et $f (x) $ pour signifier la fonction d`origine, nous utilisons parfois $df/DX $ et $df (x)/DX $ pour faire référence à la dérivée.

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